Topología final

Sea $(X, T)$ un espacio topológico, $Y$ un conjunto y $p : X \to Y$ una aplicación. Definimos en $Y$ :

T (p) := {V \subset Y : p^{- 1} (V) \in T} .

Se cumple que $T (p)$ es una topología en $Y$ que llamaremos topología final o imagen de $p$ .

$T (p)$ hace a $p$ continua y es la topología más fina que lo hace.
. Sea $g : (Y, T (p)) \to (Z, T^{″})$ una aplicación. $g$ es continua si y solo si $g \circ p$ es continua
. Los cerrados de $T (p)$ son ${C \subset Y ∣ p^{- 1} (C) es cerrado en T}$ .

Intuición

Es la topología más fina en $X$ que hace que una aplicación $p : X \to Y$ sea continua.